Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 - i}{(2 + 3 i) - (1 - 2 i) - 6}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - i}{2 + 3 i - 1 \cdot 1 - (- 2 i) - 6}$

Étape 1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 - i}{2 + 3 i - 1 - (- 2 i) - 6}$

Étape 1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - i}{2 + 3 i - 1 + 2 i - 6}$

Étape 1.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2 - i}{1 + 3 i + 2 i - 6}$

Étape 1.5

Soustrayez $6$ de $1$ .

$\frac{2 - i}{- 5 + 3 i + 2 i}$

Étape 1.6

Additionnez $3 i$ et $2 i$ .

$\frac{2 - i}{- 5 + 5 i}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 - i}{- 5 + 5 i}$ par le conjugué de $- 5 + 5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 - i}{- 5 + 5 i} \cdot \frac{- 5 - 5 i}{- 5 - 5 i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{(2 - i) (- 5 - 5 i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Développez $(2 - i) (- 5 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 5 - 5 i) - i (- 5 - 5 i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot - 5 + 2 (- 5 i) - i (- 5 - 5 i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot - 5 + 2 (- 5 i) - i \cdot - 5 - i (- 5 i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{- 10 + 2 (- 5 i) - i \cdot - 5 - i (- 5 i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{- 10 - 10 i - i \cdot - 5 - i (- 5 i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i - i (- 5 i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $- i (- 5 i)$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i + 5 i i}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i + 5 (i^{1} i)}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i + 5 (i^{1} i^{1})}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i + 5 i^{1 + 1}}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i + 5 i^{2}}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i + 5 \cdot - 1}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i + 5 i - 5}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $5$ de $- 10$ .

$\frac{- 15 - 10 i + 5 i}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $- 10 i$ et $5 i$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(- 5 + 5 i) (- 5 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 - 5 i}{- 5 (- 5 - 5 i) + 5 i (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 - 5 i}{- 5 \cdot - 5 - 5 (- 5 i) + 5 i (- 5 - 5 i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 - 5 i}{- 5 \cdot - 5 - 5 (- 5 i) + 5 i \cdot - 5 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 - 5 (- 5 i) + 5 i \cdot - 5 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25 i + 5 i \cdot - 5 + 5 i (- 5 i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25 i - 25 i + 5 i (- 5 i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25 i - 25 i - 25 i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25 i - 25 i - 25 (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25 i - 25 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25 i - 25 i - 25 i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25 i - 25 i - 25 i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Soustrayez $25 i$ de $25 i$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 0 - 25 i^{2}}$

Étape 3.3.2.10

Additionnez $25$ et $0$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 - 25 i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 - 25 \cdot - 1}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{25 + 25}$

Étape 3.3.4

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{- 15 - 5 i}{50}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $- 15 - 5 i$ et $50$ .

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Étape 4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$\frac{5 (- 3) - 5 i}{50}$

Étape 4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 i$ .

$\frac{5 (- 3) + 5 (- i)}{50}$

Étape 4.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 3) + 5 (- i)$ .

$\frac{5 (- 3 - i)}{50}$

Étape 4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$\frac{5 (- 3 - i)}{5 \cdot 10}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 3 - i)}{5 \cdot 10}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 - i}{10}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{- 3 - i}{10}$ en deux fractions.

$\frac{- 3}{10} + \frac{- i}{10}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{10} + \frac{- i}{10}$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{10} - \frac{i}{10}$